1.6..4. Метод дифференцирования

Из математического анализа известно, что прирост

функции y=y(x1, x2, .....,xn) при переходе из точки

А(x01,x02,.....,x0n) в точку В(x11,x12,.....,x1n) определяется

как

Δy= dy + E,

где dy - дифференциал функции в точке А,

Е - ошибка разложения.

Если точки А и В близки, Е является очень малой ве-

личиной, значением которой можно пренебречь. Тогда

можно записать, что Δy ≈ dy.

Дифференциал - главная линейная часть приращения

функции относительно приращения аргументов определя-

ется как

dy dy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

dx n

n

i

i

i

n

= + + + =

= Σ

1

1

2

2

1

ΔΧ ΔΧ K ΔΧ ΔΧ

Здесь

d y

d x i

- частная производная функции y по пе-

ременной xi, вычисленная в точке А, то есть при

x1=x01,x2=x02,...,xn=x0n.

Δ x i - приращение переменной xi при переходе

функции из точки А в точку В.

Δx1=x11-x01, Δx2=x12-x02, ......, Δxn=x1n-x0n.

Итак, если Δxi→0 (то есть В→А), то Е→0 и

dy dy

dxi

i

i

n

=

= Σ

Δ Χ

1

(1.6.4)

Влияние изменения фактора xi на изменение показа-

теля y определяется величиной

d y d y

i d x

i

i = Δ Χ

Пример 1.4. Выручка предприятия составила

В=ЦМ.

Прирост выручки ΔΒ ≈ Μ Δ Ц + Ц ΔΜ

Точка А здесь I квартал, её координаты А(Ц0, М0).

Точка В - 2 квартал, В(Ц1, М1).

С учетом данных примера 1.1. получим А(2400; 12),

В(2500;11)

ΔВрп= Ц0ΔМ+ М0ΔЦ= 2400(11-12) + 12(2500-2400)== -

2400+1200= -1200.

Итак общее изменение выручки ΔВРП= -1200

тыс.руб.,

в том числе: за счет изменения цены ΔВРПц= +1200

тыс.руб.,

за счет изменения физического объема ΔВРПм= -

2400 тыс.руб.

Напомним: равенство (1.6.4) является приближен-

ным.

Если в примере 1.3. определить прирост показателя

ВРП точно, то получим ΔВРП=Ц1М1-Ц0М0=112500 -

122400=27500 -28800= -1300 тыс.руб. Видно, что при ис-

пользовании метода дифференцирования произошла ошиб-

ка на 100 тыс.руб. Это именно та Е, о которой говорилось

ранее.

В экономических расчетах, где динамика факторов

может быть существенной, значение ошибки может быть

большим. Поэтому её нужно учитывать. При этом возника-

ет две задачи:

а) как рассчитать величину этой ошибки?

б) как распределить её между отдельными фактора-

ми?

Расчет величины ошибки достаточно прост:

Е= Δy – dy ,

где Δy= y(x11,x12,..., x1n)- y(x01,x02,...,x0n), а значе-

ние dy рассчитывается по формуле (1.6.4).

Задача распределения величины ошибки (“неразло-

жимого остатка”) между отдельными факторами решается

с применением различных методов. Рассмотрим основные

из них.